Как подобрать оптимальные форму и содержание для царицы наук
В этом году результаты ЕГЭ по профильной математике показали стремительный взлет, прибавив в среднем по стране более пяти баллов. Число выпускников, набравших от 81 до 100 баллов, то есть получивших пятерку по привычным школьным метрикам, выросло по сравнению с прошлым годом почти вдвое, а число тех, кто набрал заветную сотню по профилю, — более чем вшестеро. Правда, столь вдохновляющие итоги были быстро разоблачены: в сети стали появляться сообщения о «легких баллах», обеспеченных чрезмерно простыми заданиями, каковых не было на едином госэкзамене в предыдущие годы. Далее возникли коллизии с распределением бюджетных мест в вузах: резкий рост числа отличников спутал все карты в конкурсах на самые престижные направления. Снова зазвучали призывы усложнить экзамен и активизировались споры о том, какие знания должна давать школа и нужно ли стремиться к высокому качеству массового математического образования.
Призрак реформ в этой сфере проявляется все отчетливее. Помимо трудностей с поступлением в вузы есть еще и глобальная причина грядущих перемен — бурный рост вычислительных мощностей и расцвет искусственного интеллекта. Однако математика уже переживала тяжелые времена: весь XX век прошел под знаком экспериментов и поиска баланса между теорией и практикой, между абстрактным мышлением и наглядностью. Вспомним, как это было, и попробуем понять, какие уроки можно извлечь из истории.
Первый переломный период в нашей стране случился в 1930-е годы, когда Наркомпрос СССР потребовал «коренной реорганизации преподавания математики в начальной и средней школе», обосновав это необходимостью поднять «оторванную от жизни науку» до уровня великих задач сталинских пятилеток. Основой реформы должно было стать выстраивание курсов математики вокруг единого стержня — анализа бесконечно малых величин (ныне это один из разделов высшей математики — математический анализ, в его рамках изучаются пределы, производные, интегралы и бесконечные ряды). А логику подачи материала решили перевернуть «с ног на голову» — идти не от частного к общему, как было принято в классической школе, а наоборот: по мнению реформаторов, это должно было повысить уровень подготовки.
Традиционные учебники математики, составленные педагогом и методистом Андреем Петровичем Киселевым и используемые в российской школе с конца XIX века, должны были уйти в прошлое, сменившись новыми — ориентированными на идейное содержание и научно-технический прогресс. Однако попытка революции провалилась: переменам сопротивлялось не только учительское сообщество, не готовое к серьезным методическим разворотам, но и часть академиков — членов комиссий по реформам образования. Кроме того, вскоре стало очевидно, что новый подход не учитывает механизмы восприятия школьниками абстрактных понятий и потому увеличивает риск потери учениками базовых навыков (например, в арифметике или классической геометрии) при неусвоении «продвинутого» материала. К тому же вскоре началась война, поставившая на паузу пробные шаги молодой советской власти во многих сферах.
В итоге российская школа еще несколько десятилетий простояла на фундаменте классической математики. За это время самые «математически емкие» отрасли — машиностроение и металлообработка — показали более чем семикратный рост, а еще десяток направлений — от спутнико- и ракетостроения до отправки человека в космос, успешных посадок аппаратов на Луну и Венеру, производства турбореактивных и турбовинтовых двигателей, сверхзвуковых истребителей, самолетов гражданской авиации и вертолетов — отметились технологическими прорывами.
Но эти победы едва не стали роковыми для царицы наук. Запуск первого советского спутника в 1957 году вызвал горячие дискуссии о школьной математике в США и Европе: так, Джон Кеннеди заявил, что СССР выиграл космическую гонку за школьной партой, а граждане и СМИ стали винить в технологическом отставании свою систему образования. Накал страстей был настолько велик, что в 1963 году на конференции в Кембридже было объявлено, что программа американских школ по математике должна включать материал, изучаемый на первых трех курсах лучших колледжей, а на форуме в Афинах в качестве новых основ школьного курса рассматривались понятия множества и функции и отмечалась необходимость выстраивать образование вокруг математических структур (множества с заданной системой отношений между элементами).
На Международном математическом конгрессе в Стокгольме было предложено изменить терминологию и символику науки, исключить из традиционных разделов курса математики элементарную геометрию и тригонометрию, потеснить арифметику. Зазвучали лозунги: «Революция в математике!» и «Долой Евклида!». Йельский университет издал новые учебники — по ним дети должны были учиться не отработке алгоритмов, а пониманию математических концепций и дедуктивному мышлению. В программу вошли темы, которые раньше в школе почти не встречались: теория множеств, сравнения по модулю, символическая логика, матрицы, абстрактная и булева алгебра и другие.
Идею перемен подхватили и в СССР: идеологи преобразований, отступившие от намеченной линии в 1930-е годы, дождались своего звездного часа. Очередное заседание Международного математического конгресса, объединившее апологетов неоматематики, прошло в 1966 году в Москве, на площадке МГУ им. М. В. Ломоносова. На мероприятии обсуждались способы внедрения новых методик в средней школе, а возникающие на практике трудности реформаторы объясняли неподготовленностью учителей и новизной подхода.
Сложностей действительно было немало, причем связанных не только с иным содержанием программ, но и с трансформацией методологии. В преподавании теперь предписывалось делать упор на «обучение через открытие»: школьники, объединенные в группы, должны были выдвигать гипотезы и искать решения задач, а учитель — ходить от стола к столу и корректировать работу, играя роль наставника. Увы, ни дети, ни педагоги не сумели переключиться на абстрактные структуры в обход базовой математики, и результаты стандартизированных тестов становились все хуже.
Но теоретики не сдавали позиций. Особую популярность приобрело в мире более ранее исследование группы швейцарских психологов под руководством Жана Пиаже: ученые пришли к выводу, что содержание математики служит лишь попутным средством формирования умственной деятельности ребенка, а потому системность изучения тем значения не имеет.
Английский педагог-реформатор Калеб Гаттеньо продвигал методику так называемого геоплана — по сути, доски с набитой на ней гвоздевой сеткой. При натягивании на гвозди цветных резинок ребенок (младший школьник) получал какие-нибудь фигуры. А учитель, попросив детей поочередно изобразить свои конструкции на большом (классном) геоплане, давал необходимые комментарии: например, в одном случае говорил, что у ученика получились многоугольники, причем один называл выпуклым, а второй — невыпуклым; в другом случае показывал на доске квадрат, замечая, что в большом квадрате содержится четыре маленьких, конгруэнтных друг другу. Более того, один маленький квадрат составляет четвертую долю большого, а два — половину большого, и это можно записать в виде дробей. Таким образом, дети должны были знакомиться с многообразием различных фактов (многоугольниками, дробями, буквами и т. д.), открытых ими самими. По мере продолжения обучения факты должны были накапливаться и затем с помощью учителя классифицироваться и обобщаться.
В СССР в этой зоне методологической турбулентности снова разгорелись споры вокруг учебников Киселева, в которых реализовался «нетрендовый» принцип систематизации материала — от частного к общему, от простых тем к более сложным, с понятными определениями терминов, неторопливой и многократной проработкой новой информации в решении примеров и логических задач. Реформаторы подобный подход отвергали.
В конце концов под натиском прогрессистов методика Киселева была вытеснена из школы. На смену ей пришли отредактированные, но пока еще не «революционные» учебники, которые уже после первого года использования подверглись критике со стороны вузов, отметивших снижение уровня математических знаний у абитуриентов.
Но это была лишь разминка: по-настоящему за царицу наук взялись в конце 1960-х, возродив из пепла нереализованные идеи 1930-х годов, включая перевернутый педагогический принцип «от общего к частному». По заказу Министерства просвещения СССР были изданы новые учебники, за подготовку которых отвечал ученый с мировым именем, активный участник международных конференций по реформе математики академик Андрей Николаевич Колмогоров (в истории советской школы эта реформа так и останется реформой Колмогорова). Увы, гениальный ученый не был гениальным педагогом и на страницах своих учебников объяснялся с детьми как с коллегами.
В Академии педагогических наук СССР были разработаны два похожих инновационных метода: по «системе Занкова» и по «системе Давыдова», нацеленные на так называемое развивающее обучение. Они строились не по классическому принципу повторения и закрепления материала, а предполагали опережающее погружение школьника в теорию, обучение самостоятельной постановке задач, поиску способов их решения и анализу результатов. В этой парадигме арифметика оказалась сокращена до минимума; практически не осталось места задачам, в которых требовалось найти конкретный ответ, выраженный числовым значением. Новые темы проходились бегло, буквально за один урок и по большей части в теории, ошибки считались вариантом нормы, а уроки превращались в дискуссии и постоянный поиск не только решений, но и условий задач. Как позже писал в газете «Коммунист» выдающийся советский математик, академик Лев Понтрягин, обе эти системы не дали позитивных результатов, так как главный их порок состоял в ложном принципе обучения, который не исправило бы даже самое совершенное методическое исполнение.
Однако новые высоконаучные методики активно внедрялись в школах, а учителя, согласившиеся их применять, получали надбавки к зарплате. Паника началась в 1978 году, когда первый выпуск «реформированной» молодежи пошел в вузы.
Как пишет в своем исследовании того периода математик Игорь Костенко, повсеместно отмечалось, что математические знания выпускников страдают формализмом, а навыки вычислений, элементарных алгебраических преобразований, решения уравнений фактически отсутствуют. Абитуриенты оказались не подготовленными к обучению в вузе. Причиной такого упадка ученый называет разрушение математического фундамента из-за ужатия арифметики и смешения ее с алгеброй и геометрией, а также губительное сокращение числа содержательных задач с арифметическими методами решения.
На Западе к тому времени эйфория от реформ уже схлынула. Морис Клайн, исследователь из Нью-Йорского университета, выпустил книгу «Почему Джонни не умеет считать: провал новой математики», в которой утверждал, что при знакомстве младших школьников со строгими аксиоматическими доказательствами и современными логическими структурами игнорируются возрастные когнитивные ограничения, что приводит не к глубокому усвоению материала, а к его повсеместному непониманию.
В конце 1960-х в США возникло контрдвижение Back to Basics — «Назад к основам», ставившее своей целью вернуть фокус в школьной математике на запоминание и отработку базовых навыков и алгоритмов. В отдельных штатах были приняты законы, предписывающие обязательное обучение детей арифметическим операциям и методам решения задач, вводилось также тестирование этих базовых математических навыков для получения аттестата средней школы.
Но несмотря на жесточайшую критику и, по сути, повсеместное признание провала реформы, в СССР полного возврата к прежней методике не произошло. На многочисленных совещаниях, посвященных этому вопросу, было решено не делать резких движений, а доработать уже выпущенные новаторские программы.
Киселев оказался старомодным. «Он разговаривал со школьниками на понятном им языке, но с точки зрения науки допускал некоторые неточности, которые исправлялись в старших классах — по мере созревания мозга детей. За это Киселев был подвергнут критике, а в учебниках стали давать такие академически выверенные определения, что и взрослый-то не сразу сообразит. Тогда как у Андрея Петровича был талант — чувствовать, что будет понятно ребенку, а что нет, и объяснять сложное простым языком», — отметил в беседе с «Моноклем» завкафедрой информатики и вычислительной техники самарского политеха Александр Чуваков.
Как пишет Игорь Костенко, в результате советской контрреформы вместо цельных учебных предметов появились синтетические конгломераты из разнородных методических линий. В начальной школе ужатая арифметика перемешалась с элементами геометрии, алгебры и теории множеств. В девятом-десятом классах алгебра «проинтегрировалась» с тригонометрией, которая ранее шла отдельным курсом, и анализом. Вопрос о качестве новых учебников поднимался все последующие годы.
Один из выдающихся математиков XX века академик Владимир Арнольд в 2008 году сравнивал подачу материала о функциях в учебнике алгебры Киселева и в пришедшем ему на замену и используемом в настоящее время учебнике Юрия Макарычева. По его словам, в современном варианте «вначале даются формальные определения, потом множество разношерстных абстрактных примеров, затем множество хаотичных упражнений, не имеющих рациональной педагогической цели. Налицо перегрузка и абстрактность. Изложение занимает семь страниц. Форма изложения, когда начинают с невесть откуда взявшихся “строгих” определений и затем “иллюстрируют” их примерами, трафаретна для современных научных монографий и статей.
У Киселева методика обратная. Начинается тема с двух примеров — бытового и геометрического, эти примеры хорошо знакомы ученику. Примеры подаются так, что естественно приводят к понятиям переменной величины, аргумента и функции. После этого даются определения и еще четыре примера с очень краткими пояснениями, их цель — проверить понимание ученика, придать ему уверенности. Последние примеры тоже близки ученику, они взяты из геометрии и школьной физики. Изложение занимает всего две страницы! Ни перегрузки, ни абстрактности!»
Тем не менее школьная математика в 1970-х годах приобретает налет строгости, академизма, а порой и наукообразия, пожертвовав при этом диалогом с учеником. Именно с таким наследием школа живет сегодня: учебники того времени, выдержавшие несколько переизданий, составляют основу рекомендованного перечня Министерства просвещения РФ и в ближайшие годы могут стать безальтернативными. Революционные идеи 1960-х в них сглажены, однако беглого скольжения по темам с сокращенным временем их практической отработки и отсутствия традиционных арифметических задач избежать не удалось.
Такие «брызги новой волны» подмочили фундамент математического образования, который закладывается в начальной школе. Косвенно об этом свидетельствуют последние результаты контрольных тестов ВПР за четвертый класс: в числе хронически заваливаемых заданий — текстовые задачи в три-четыре действия, упражнения на логику, сравнение и перевод величин, вычисление периметра и площади. Чтобы обеспечить своему выпуску более высокие показатели итоговой диагностики, многие учителя столичных школ идут на хитрость: вместо рекомендованных Минпросом учебников «Школа России» Марии Моро и соавторов используют находящийся в списке на исключение из федерального перечня учебник Бориса Гейдмана с соавторами. В нем, как и в книге Киселева, делается упор на практическое закрепление знаний: дается много типовых задач с близкими школьникам сюжетами, а также «пища для ума» — задачи на логику и комбинаторику. Количество заданий в «Математике» Гейдмана для третьего класса на сотню больше, чем в базовом учебнике для массовой школы.
В ОГЭ за девятый класс дети демонстрируют неумение решать задачи разных типов, особенно геометрические, а также строить графики, в ЕГЭ по профильной математике — решать текстовые задачи на построение математических моделей, а также задания по геометрии. Педагоги, с которыми нам удалось пообщаться при подготовке данной статьи, на условиях анонимности (кстати, это один из признаков современных дискуссий об образовании — опасения педагогического сообщества высказывать свою позицию открыто, чего не наблюдалось даже в 1930-е годы) отмечали, что современной школьной программе необходима более стабильная и четкая структура, а также более полный и качественный блок практических задач.
«Количество заданий для отработки в учебниках средней школы с каждым переизданием уменьшается, и сейчас их катастрофически не хватает. Нужны страницы, тонны однотипных примеров, — говорит учитель математики одной из санкт-петербургских школ. — От советских учебников, написанных Виленкиным, Макарычевым и Мерзляком, которыми мы официально пользуемся, уже мало что осталось: авторы бы запретили ставить свои фамилии на этих изданиях. Главы там постоянно меняются местами, вставляются мелкие, вырванные из контекста темы, чтобы формально подтвердить “подготовку к ОГЭ и ЕГЭ” или в угоду невнятным “современным тенденциям”. Формулировки становятся сложными, недоступными для той возрастной категории, которой предназначены учебники. Причин этого мы не знаем, но есть предположение, что так оправдывают свое существование невидимые редакторы-методисты».
Курс на минимизацию практической отработки тем считает ошибочным и другой наш собеседник — учитель, подготовивший несколько победителей международных математических олимпиад. «Самостоятельная письменная работа ученика в математике важна как ни в каком другом предмете, — уверяет он. — Невозможно научиться решать задачи, наблюдая, как это делает кто-то другой, — надо решать их самому. Поэтому школьный урок, объяснение живого учителя у доски, безусловно, нужны, но ежедневная письменная работа ребенка в тетради — необходимое условие для получения качественного образования».
В нынешних условиях, полагает наш собеседник, достичь хороших результатов на средней и старшей образовательных ступенях можно, но только при особом подходе учителя. Программы базовых учебников в профильных классах высокорейтинговых школ педагоги часто дополняют или вовсе заменяют системой так называемых листков, пришедшей из кружковой среды.
«То есть учитель самостоятельно формирует набор определений, примеров, упражнений и задач, по которому обучает детей. Обычно такие листки наполняют материалами из разных учебников и дополняют авторскими заданиями учителя. Такой подход сильно отличается от того, что есть или как должно быть именно в массовой школе», — рассказывает математик.
Судя по результатам наших экспресс-интервью, ожидания учителей от базовых учебников для обычных школ довольно просты: учебник должен быть понятным, логически выстроенным, написанным хорошим языком, содержать сотни примеров и задач, связывающих теоретический материал с практикой, включать ненавязчивое повторение пройденного и постоянные отсылки к нему — «чтобы была возможность строить дом знания поэтапно, возводя условные стены с опорой на фундамент, а каждый новый ряд кирпичей укладывая на положенный ранее».
А в учебных программах учителя хотят видеть правильное целеполагание, ориентированное на реальный, а не декларируемый рост качества образования. «Сегодня программы выстроены таким образом, что вся учеба проходит в спешке и суете, — констатирует педагог из северной столицы. — Не успели изучить одну тему — а уже требуется переходить к следующей, не тратя время на повторение, промежуточный контроль, восполнение пробелов. Тогда как очевидно, что ребенок не сможет запомнить всех фактов сразу и даже если запомнит, не сумеет применить материал на практике».
Серьезная критика сложившейся у нас формы математического образования, впрочем, не означает, что у нас много сторонников серьезного пересмотра его содержания. В отличие, например, от США, где в СМИ обсуждают провокационную идею маргинального политолога Эндрю Хакера о замене алгебры в массовой школе курсом по статистике и базовому пониманию чисел. Наши дискуссии лежат в другой плоскости: мы спорим скорее о степени углубления в тот или иной тематический раздел.
В частности, несколько лет назад под прицелом оказался курс «Вероятность и статистика» — его внедрение в алгебру многие считали излишним, отвлекающим учителей и учеников от классической дисциплины. Но с 2023 года эта тема была утверждена как самостоятельный курс предметной области «Математика и информатика», в седьмом — девятом классах на нее выделили один час в неделю. И споры сместились с вопроса «зачем это надо?» на более основательные: «какой должен быть учебник?», «кто будет вести предмет?» и «насколько глубоко погружать в него школьника?».
Ключевые разделы математики, в том числе дифференциалы, неподъемные для четверти сдающих ЕГЭ по профилю, и тригонометрия, которую не в состоянии освоить почти половина выпускников, остаются незыблемыми. «В школе эти темы изучались всегда и не считались особенно сложными. А не даются они потому, что у современных детей слишком хилые базовые навыки: старшеклассники сейчас не способны даже простые производные брать, да и со стереометрией все очень и очень плохо», — делает вывод один из преподавателей ведущих физико-математических школ страны.
Опробованное в текущем году решение — упрощение заданий ЕГЭ по профильной математике — по мнению экспертов, лишь усугубит проблему. «Пониженные требования на выходе из учебного процесса не могут положительно влиять на качество обучения, которое вынужденно перестраивается с развития учащихся на их натаскивание на выполнение заданий итогового контроля», — отметил в одном из публичных выступлений заслуженный работник образования, математик Александр Шевкин.
Впрочем, есть и философские вопросы, которые сегодня уже невозможно обойти: а нужно ли вообще повышать качество математического образования в эпоху, когда нейросеть OpenAI за 88 часов решает проблему Навье — Стокса — одну из семи «задач тысячелетия», за которую Математический институт Клэя обещал миллион долларов? Что сегодня считать качеством и к чему стремиться? Два месяца назад в открытом письме, опубликованном на портале Math and AI, величайшие математики современности, филдсовские лауреаты, в том числе россиянин Станислав Смирнов, заявили, что главная угроза для человечества заключается не в самих технологиях, а в том, что, увлекшись гонкой алгоритмов, мы рискуем потерять способность понимать мир, а не просто получать информацию о нем.
«Школа не обязана давать какие-то практически применимые знания — она дает развитие посредством передачи знаний. Это разные вещи, — заключает наш респондент из Санкт-Петербурга. — Мне кажется, когда люди поймут, что деградируют, будут открываться интеллект-клубы, куда нужно будет забегать пару раз в неделю решать логические задачки, чтобы поддерживать навык критического мышления. В случае с ИИ это жизненно необходимо, чтобы иметь возможность руководить им, а не становиться придатком. Никакое моделирование или любые другие так называемые новые навыки не будут полезными, если их укладывать на пустоту в голове, поверх несформированного базового мышления и отсутствия базовой логики».